在算术体系中，除了我们熟悉的四则运算、高德纳箭头、康威链外，还有一种名为“量词”的存在。

量词分为存在量词?和全称量词?。

（定义计算器或计数器：φ（0）＝?，φ（1）＝?，……）

数学家克林给“命题”进行了一次分级：

没有量词的命题是零阶命题，而有量词的命题开头必然是存在量词和全称量词交错组成，交错的次数为n，就是n阶名词。

如果一个n阶命题的开头是存在量词，就叫做n阶存在命题，开头是n阶全称量词，就叫做n阶全称命题。

克林将0阶命题定义的自然数集组成的集合写作Δ0，n阶存在命题和n阶全称命题定义的自然数集组成的集合分别写作∑_n和‖_n。

n阶命题完全等价于n阶算术阶层。

（根据我询问的一位大佬指出：算术阶层是将自然数子集按定义它们的命题的复杂性来分层，这里谈不上算术阶层等价算术命题，而是一类算术命题定义了一个阶层的集合。）

这些集合组成了一个无限向上绵延的体系，阶级越高则能够定义的自然数集合越多，表达能力越强。

每一层级都只能被自身和更上层级所定义，层级之间的关系是严格包含+绝对凌驾的。

0阶命题Δ0所代表的是递归函数，是可计算的（参考四则运算、高德纳箭头、超运算）。

∑_1是枚举函数，它初步定义的函数仍然是可计算的（参考tree函数、scg函数等），深入定义后的函数则是不可计算的，例如停机问题。（停机集的图灵度则是由Δ2集合构成）

后续还有∑_2、∑_3、……无止境向上绵延。

算术阶层是无限向上绵延的，图灵度同样如此。